微积分
导数
1. 定义
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ （点 $x_0+\Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ；如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x\to0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f’(x_0)$ ，即
$$
f’(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}
=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},
$$
也可记作 $y’|x=x_0$ ， $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\Big|{x=x_0}$ 或 $\frac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx}\Big|{x=x_0}$ 。
2. 求导
2-1 求导四则的运算法则
加/减法：$[u(x)\pm v(x)]’=u’(x)\pm v’(x)$
- 推广：$\left[\sum\limits_{i=1}^n u_i(x)\right]’=\sum\limits_{i=1}^n u’_i(x)$
乘法：$[u(x)\cdot v(x)]’=u’(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v’(x)$
- 数乘性：$[c\cdot u(x)]’=c\cdot u’(x)$
- 推广： $\left[\prod\limits_{i=1}^n u_i(x)\right]’=\sum\limits_{i=1}^n (u_1\cdots u’_i\cdots u_n)$
除法：$
\left[
\frac{u(x)}{v(x)}
\right]’
=\frac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{v^2(x)},v(x)\not =0
$
2-2 反函数的求导法则
如果函数 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、可导且 $f’(y)\not =0$ ，那么它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在区间 $I_x={x|x=f(x),y\in I_y}$ 内也可导，且
$$
[f^{-1}(x)]’=\frac1{f’(y)}
\ \text{或}\
\frac{dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}}
$$
2-3 复合函数求导法则
若 $u=g(x)$ 在点 $x$ 可导，而 $y=f(u)$ 在点 $u=g=(x)$ 可导，那么复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 可导，且其导数为
$$
\frac{dy}{dx}=
$$
2. 导数公式
| 函数名 | 函数解析式 | 导函数 |
|---|---|---|
| 函数 | $y=f(x)$ | $y’=f’(x)$ |
| 常函数 | $y=C$ | $y=0$ |
| 幂函数 | $y=x^\mu$ $y=e^x$ |
$y’=\mu x^{\mu-1}$ $y’=e^x$ |
| 指数函数 | $y=a^x$ | $y’=a^x\ln a$ |
| 底数函数 | $y=log_a x$ $y=\ln x$ |
$y’=\frac 1 {x\ln a}$ $y’=\frac 1 x$ |
| 正弦函数 | $y=\sin x$ | $y’=\cos x$ |
| 余弦函数 | $y=\cos x$ | $y’=-\sin x$ |